这两天已经变成的ACMer的标学长回来传授了一些有趣的东西，感觉会在一些奇奇怪怪的题目上运用上。今天我们就先来讲讲神奇的泰勒展开式。【PS 思路来源于 Orz大佬】

什么是泰勒展开式

首先，泰勒展开式是长这样的：

是不是看起来很让人懵逼很让人迷惑，没事，就下来我就带领你尽量还原泰勒发明的过程，从如何创作这条泰勒公式的角度，走进这条美丽奇幻的泰勒公式。

深入浅出的理解泰勒展开式

在公元1712年，数学界在函数——特别是对简单函数的研究和应用已经趋于成熟，但是一个复杂的问题一直困扰着整个数学界——如何描述一个复杂的函数呢？

在当时，对于简单的函数比如 y=x+1 ，图像性质都已经非常成熟了，但是对于复杂函数，比如：
这种一看就非常复杂的函数，还有那种根本就找不到表达式的曲线。当时的数学界除了代入一个x可以得到它的y，就啥事都很难干了。

这时我们的泰勒站了出来！她决定找出一种方法，让这些式子统统现出原形，统统变简单。

让我们假装沿着泰勒同学的思路来：

要让一个复杂函数变简单，能不能把它转换成别的表达式？比如函数，怎么看都看不出化简的思路，那怎么办呢？我们先不要一口吃掉它，可以先从它最小的部分算起，比如说一个点，以得到：。暂时看不出有什么规律。

那就继续增大研究的对象，比如说的左邻右舍，，可以得到：，其中，好像还是看不出什么规律，但是聪明的泰勒早已看破了这一切。

因为，所以原式可以化简为。所以机智的泰勒想，会不会是酱紫：，即。嗯先假设是这样，然后谨慎的泰勒同学决定验证一下。

先求个导试试：。对了，泰勒同学很激动！继续求：，咦，不对了。那说明有了一些问题。仔细分析一下问题在哪呢？

我们可以尝试把拆开来：，然后分析他们之间有什么共性。

让我们对进行求导看看：

一阶导：，嗯多了个，

二阶导：，多了。好像有点规律了，

......

阶导：，

阶导：0。是一个常数，所以对求导就是0了。

这里规律很明显了，阶导以后都是0！但是阶导以前呢【即导完m次还不是常数的】？还是蛮复杂的，不过不用担心，因为，即，所以阶导以前也都是0，而阶导就是。非常完美！

这样就很清晰了：对求阶导为。但是我们想要的值是，那就把给除掉！

即乘于一个，所以，证明完毕。泰勒同学解决了这个问题，还写了一封信给挚友，非常开心的入睡了。

泰勒展开式的运用

运用神奇的泰勒展开式，我们就可以求解一些难以直接计算的数值的近似值了，比如 e^2 , 我们可以构造 f(x)=e^x, 然后带x0=0，进行求导就很显然了。
【PS x0一般视情况选择0或1等会比较方便计算】
下面给出一些常见式子的泰勒展开式：

结语

通过这篇BLOG，相信你已经了解了泰勒展开和一些经典运用，希望你能在数学的道路上一往无前。希望你喜欢这篇BLOG！